Vlaamse Geschiedkundige Kring-

If this is your first visit, be sure to check out the FAQ by clicking the link above. You may have to register before you can post: click the Register link to proceed.


Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Ronny
Gebruikersavatar
Prosenior
Berichten: 6015
Lid geworden op: 19 Aug 2008, 11:48

Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Berichtdoor Ronny » 15 Sep 2009, 10:44

Dit basisvak wordt gedoceerd door M. Van Dyck en introduceert studenten in de geschiedenis van de wetenschappen in de Oudheid (i.h.b. in de Griekse en Romeinse cultuur), met bijzondere aandacht voor historiografische problemen met betrekking tot de plaats van wetenschappen binnen de bredere kenniscultuur.
Aan de hand van verschillende wetenschapstakken (wiskunde, fysica, astronomie, geneeskunde…) wordt de vraag gesteld naar de verhouding van het wetenschappelijke denken tot andere kenvormen en technologische ontwikkelingen. Van deze verschillende wetenschapstakken wordt telkens een fragment in detail bestudeerd en daarna gekoppeld aan de ruimere historische ontwikkelingen van deze wetenschap. Zowel de gevolgde methodes als bereikte resultaten worden bediscussieerd.

Nuttige links:

- ECTS-fiche

- Topic van vorig jaar.
Wisdom comes to us when it can no longer do any good.

WouterP 4 Franciscus II

Vicky
Gebruikersavatar
Berichten: 2534
Lid geworden op: 22 Sep 2006, 23:48
Locatie: Gent / Shortmarket
Contact:

Re: Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Berichtdoor Vicky » 05 Jun 2010, 00:41

kan iemand uitleggen wat die indirecte limietmethode precies inhoudt van Eudoxus? (hoofdstuk 4, pg 10-11)

Ronny
Gebruikersavatar
Prosenior
Berichten: 6015
Lid geworden op: 19 Aug 2008, 11:48

Re: Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Berichtdoor Ronny » 05 Jun 2010, 19:17

Bij wijze van voorbeeld. (mss papier bijnemen en het tekenen, dan wordt het sneller duidelijk)

Eudoxus de Griek wil de oppervlakte van een cirkel berekenen. Eudoxus kende jammergenoeg nog geen pi, maar wel al de manier om een gelijkbenige driehoek te berekenen (zoals we weten: (1/2)*sin(door de gelijke benen ingesloten hoek)*(lengte been)²).

Dus stelt hij:
Wat als ik nu eerst de oppervlakte van een vierkant, in die cirkel ingesloten, bereken?
Hij tekent een vierkant in de cirkel en verbindt iedere hoek met het midden.
Zo krijg je vier driehoeken, elk met grootte:
(1/2)*sin(90°)*r²
(met r dus de straal van je cirkel)
De vierhoek zelf is 4*(1/2)*sin(90°)*r²

Dan tekent hij een ingesloten vijfhoek (dus de hoekpunten op de cirkel) en berekent daarvan de oppervlakte op dezelfde wijze (met het tekenen van driehoekjes).
Daarvan is de grootte per driehoekje:
(1/2)*sin((360/5)°)*r²
En dus van de vijfhoek:
5*(1/2)*sin(72°)*r²

Ibidem met een ingesloten zeshoek:
6*(1/2)*sin(60°)*r²

Je merkt dat hoe meer hoeken je n-hoek telt, hoe meer hij van de cirkel benadert.
Bij deze benadert hij dus: n*(1/2)*sin(360/n)*r².
Als je dat uitrekent met een aantal "n-en", zie je dat de uitkomst stijgt en naar pi limiteert.

Maar Eudoxus kende geen limieten.
Daarom deed hij het zelfde met omgeschreven veelhoeken.
De exacte formule daarvan zit een beetje te ver weg, maar je ziet visueel al (teken dat eens met een vierkant, een zeshoek, een achthoek) dat de oppervlakte van je veelhoek daalt en ook naar pi limiteert.

Je kunt bewijzen dat de oppervlakte van je cirkel groter is dan het eerste (met de ingeschreven) resultaat, en kleiner dan je tweede (met de omgeschreven).

Wat is er dus gebeurd?
Dit is een limietmethode, zonder het gebruik van eigenlijke wiskundige "limieten". Dus indirecte limietmethode.
Wisdom comes to us when it can no longer do any good.

WouterP 4 Franciscus II

Vicky
Gebruikersavatar
Berichten: 2534
Lid geworden op: 22 Sep 2006, 23:48
Locatie: Gent / Shortmarket
Contact:

Re: Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Berichtdoor Vicky » 05 Jun 2010, 20:45

Ehm, het zal wel heel dom klinken, maar wat is een omgeschreven veelhoek?

Dancet
Gebruikersavatar
Pro-Web
Berichten: 8156
Lid geworden op: 17 Sep 2008, 13:32
Locatie: Oostende

Re: Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Berichtdoor Dancet » 05 Jun 2010, 20:48

Afbeelding

Een veelhoek rondom een cirkel waarbij elke zijde slechts een raakpunt heeft met de cirkel.
If we amplify everything, we hear nothing.
- John Stewart

AntonWillaert
Berichten: 123
Lid geworden op: 08 Okt 2007, 14:03

Re: Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Berichtdoor AntonWillaert » 09 Jun 2010, 16:02

kan er iemand eens kort de verschillen/gelijkenissen tussen de Aristoteliaanse en Newtoniaase fysica uitleggen? Ik versta er de ballen van.
Gaudeamus igitur, iuvenus dum sumus
Laat ons dan vrolijk zijn, zolang we jong zijn

Vicky
Gebruikersavatar
Berichten: 2534
Lid geworden op: 22 Sep 2006, 23:48
Locatie: Gent / Shortmarket
Contact:

Re: Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Berichtdoor Vicky » 09 Jun 2010, 17:17

Ik denk dat het net het punt is dat je de gelijkenissen of verschillen niet kunt bekijken omdat ze volgens een ander conceptueel kader werken waarin alles ingepast wordt. Voor Aristoteles is dit een kwalitatief gedifferentieerde ruimte waarin zijn elementen/oorzaken/... logisch zijn, voor Newton is dit een 'neutrale container' waarin zijn basiswetten logisch zijn.

Er wordt ook nog op gewezen dat beiden een filosofisch project hebben (Newton vond zijn wetten geen wetenschappelijke uitspraken maar filosofische principes die iets zeggen over de aard van de lichamen en bewegingen (voor de moderne tijd zijn er ook geen wetenschappers, wel natuurfilosofen)) en dat van beiden de basiswetten niet kunnen getest worden (voor Aristoteles de elementen en hun aard, voor Newton zijn basiswetten) omdat dit net het kader vastlegt waarin ze werken.

Vicky
Gebruikersavatar
Berichten: 2534
Lid geworden op: 22 Sep 2006, 23:48
Locatie: Gent / Shortmarket
Contact:

Re: Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Berichtdoor Vicky » 09 Jun 2010, 17:19

Ronny schreef:Wat is er dus gebeurd?
Dit is een limietmethode, zonder het gebruik van eigenlijke wiskundige "limieten". Dus indirecte limietmethode.


Ik heb het stuk nog eens bekeken in de cursus en daar lijkt het mij dat er niet gesproken wordt over omgeschreven veelhoeken. Ik snap wel wat jij bedoelt, maar in die cursus snap ik het echt niet :?. Kzal het maar zo uitleggen zoals het hier staat zeker als hij het vraagt?

Ronny
Gebruikersavatar
Prosenior
Berichten: 6015
Lid geworden op: 19 Aug 2008, 11:48

Re: Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Berichtdoor Ronny » 09 Jun 2010, 17:23

Vicky schreef:
Ronny schreef:Wat is er dus gebeurd?
Dit is een limietmethode, zonder het gebruik van eigenlijke wiskundige "limieten". Dus indirecte limietmethode.


Ik heb het stuk nog eens bekeken in de cursus en daar lijkt het mij dat er niet gesproken wordt over omgeschreven veelhoeken. Ik snap wel wat jij bedoelt, maar in die cursus snap ik het echt niet :?. Kzal het maar zo uitleggen zoals het hier staat zeker als hij het vraagt?


Wel, ik volg de cursus niet, maar dat is wel de methode van Eudoxus zoals ik ze ooit zag (je kan het ook toepassen op piramides ofzo)...
Wat staat er in de plaats in de cursus?
Wisdom comes to us when it can no longer do any good.

WouterP 4 Franciscus II

Vicky
Gebruikersavatar
Berichten: 2534
Lid geworden op: 22 Sep 2006, 23:48
Locatie: Gent / Shortmarket
Contact:

Re: Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Berichtdoor Vicky » 09 Jun 2010, 17:34

http://rapidshare.com/files/397106433/HOOFDSTUK_4.pdf.html Hier zou je het normaal moeten kunnen downloaden (overtypen zou nogal tijdverlies geweest zijn :p). Het staat op pg 10-11.

Ronny
Gebruikersavatar
Prosenior
Berichten: 6015
Lid geworden op: 19 Aug 2008, 11:48

Re: Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Berichtdoor Ronny » 09 Jun 2010, 18:45

Hm.
Bij nader inzien is het bovenstaande een ander voorbeeld van de methode, want eveneens gebaseerd op het gebruik van ingeschreven veelhoeken. Wat zitten online zoeken, en wat ik beschreef is de ene keer van Eudoxus, en de andere keer van Archimedes. Vreemd.

Dit voorbeeld is een pak... moeilijker vind ik:

De verhouding tussen de oppervlakte van cirkels is de verhouding tussen de kwadraten van hun stralen (te herkennen in hun oppervlakteformule r²*PI). Dit wordt bewezen uit het ongerijmde.
We hebben cirkel met oppervlakte A en cirkel met oppervlakte B, met stralen a en b. Zoals altijd bij cirkels is A/B = a²/b².
Stel, die verhouding is niet zo. Dan is er een andere getal X waarvoor geldt met A/X = a²/b². Dat getal X zal of groter dan of kleiner dan B zijn (want het is niet B).
We nemen nu dat deze X de oppervlakte voorstelt van een derde cirkel, die dus of kleiner, of groter is dan B.

1. Men neme het eerste geval, zijnde X < B.
In B teken je driehoeken zoals op die figuur (met steeds nieuwe driehoeken op de lange zijde) (trek je hierbij niets aan van die bordeaux flapjes links vanboven). Zoals je ziet zal de som van de oppervlaktes van die driehoeken (een som die we Q noemen) stijgen, stijgen, stijgen naar B.
Omdat X < B, en Q stijgt naar B, moeten we op een gegeven moment komen tot
X < Q < B
We kunnen dit gestelde Q > X ook schrijven als
B - Q < B - X
(betekenend: het verschil tussen de veelhoek en cirkel B is kleiner dan het verschil tussen de cirkel X en de cirkel B).

Wat nu zo wicked is eraan, is hoe men stelt dat je in een eindig aantal stappen mag stellen dat X < Q < B. Want je mag niet stellen dat "ergens in het oneindige een veelhoek kleiner is dan B maar groter dan X".
Die eindigheid is bepaalt omdat als je van een getal meer dan de helft afneemt, en dan nog eens meer dan de helft, en dan nog eens meer dan de helft, dat dat na een eindig aantal stappen kleiner wordt dan iedere willekeurige grootheid. Dat dat principe van toepassing is, bewijzen ze door die bordeauxe flapjes. De driehoek EFK is de helft van de rechthoek met basis EF.
Dus is de driehoek meer dan de helft dan het cirkelsegment afgelijnd door EF.
Dus zijn de babyblauwe strookjes kleiner dan de helft van het cirkelsegment afgelijnd door EF.
Dus worden die strookjes (aka B - X, want het verschil tussen je cirkel en je veelhoek) kleiner dan iedere willekeurige grootheid.
B-Q is zo een grootheid
=> B - X < B - Q
=> Q > X.

2. In een volgende stap zullen we in de eerste cirkel A een veelhoek tekenen (aka P) die gelijkvormig is met Q.
Nu is het zo dat we de oppervlakte van veelhoek Q (zijnde een hoop driehoekjes) kunnen berekenen met een hele hoop sinussen en cosinussen en met als enige variabele b.
Vb. bij die eerste driehoeken (rozepaars op de figuur) is dat de straal van de cirkel * de halve straal van de cirkel / 2. De straal van die mauvepaarse driehoekjes kan je berekenen met een sinus, net als de hoogte. Als je nog eens kleinere driehoekjes zou maken, lukt dat ook. Bemerk hoe de enige variabele de straal van die cirkel, dus b blijft.
En de Grieken wisten al dat de verhouding tussen de oppervlakte van gelijkvormige driehoeken de verhouding is tussen de kwadraten van hun basissen. (indien je vierhoekjespapier bij de hand hebt kan je dat makkelijk eens visueel testen)
Bijgevolg is de verhouding tussen veelhoek P en veelhoek Q de verhouding tussen a² en b² (die kwadraat omdat je bij de formule van een driehoek basis maal hoogte doet). Dus is P/Q = a²/b².

Nu hebben we gesteld dat A/X = a²/b². (bij het begin)
Dus is P/Q = A/X.
Door het principe van ingeschreven veelhoeken is P < A (logisch, je kan niet groter zijn als je ingeschreven bent).
Bijgevolg is Q < X.

3.
In 1 concluderen we Q > X.
In 2 het omgekeerde.
=> stelling is incorrect.

Met X > B (staat fout in de cursus, het vogelbekje moet omgekeerd!) zou je ook een tegenstrijdigheid moeten kunnen vinden.
Ik denk dat het er dan in schuilt dat je dan in stap 1 een veelhoek R construeert waarvoor dan geldt dat X > R > B (visueel: je veelhoek overlapt B maar blijft ingeschreven in X).
In de tweede stap bewijs je dan dat R < X... Dat lijkt mij enkel mogelijk als je in de eerste stap werkte met een omgeschreven vierhoek (B omschrijvend) waar je dan continu driehoekjes van afhakte aan de hoekpunten... Dit omdat je figuur R opnieuw enkel b als variabele mag hebben. Heel vreemd, maar het principe klopt wel.


Indirecte limiet slaat erop dat je naar een infitesimaal kleine grootheid werkt (B-X), want X benadert steeds meer B maar bereikt het niet. Je limiteert zonder het introduceren van het begrip "limiet" door die "eindigheid van het aantal stappen".
Wisdom comes to us when it can no longer do any good.

WouterP 4 Franciscus II

Vicky
Gebruikersavatar
Berichten: 2534
Lid geworden op: 22 Sep 2006, 23:48
Locatie: Gent / Shortmarket
Contact:

Re: Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Berichtdoor Vicky » 09 Jun 2010, 23:55

Hm, ik zal het morgen eens bekijken als ik herhaal, hopelijk snap ik er iets van :). Alleszins bedankt om zo'n uiteenzetting te doen!

AntonWillaert
Berichten: 123
Lid geworden op: 08 Okt 2007, 14:03

Re: Geschiedenis van de Wetenschappen in de Oudheid

Berichtdoor AntonWillaert » 03 Aug 2010, 13:08

Zijn er samenvattingen die ik mag gebruiken van een barmhartige samaritaan voor mijn 2de zit? :P
Gaudeamus igitur, iuvenus dum sumus
Laat ons dan vrolijk zijn, zolang we jong zijn


Terug naar “Minor de Klassieke Traditie”




  Wie is er online

Gebruikers op dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 1 gast

cron